- Гиперболичность и жесткость расслоенных частично гиперболических систем (arXiv)
Автор: Санхадип Чакраборти, Марсело Виана
Аннотация: Каждая сохраняющая объем расслоенная частично гиперболическая система с пучками в центре и двумерным центром либо (1) имеет два различных центральных показателя Ляпунова, либо (2) демонстрирует инвариантное непрерывное линейное поле (или пару линейные поля), касающиеся центральных слоев, или (3) допускает непрерывную конформную структуру на центральных слоях, инвариантную как относительно динамики, так и относительно устойчивых и неустойчивых голономий. Последние две альтернативы накладывают сильные ограничения на топологию центральных слоев: (2) может встречаться только на торах, а для (3) центральные слои должны быть либо торами, либо сферами. Более того, при некоторых дополнительных условиях такие отображения являются жесткими в том смысле, что они топологически сопряжены с конкретными алгебраическими моделями. Когда система симплектическая, из (1) следует, что центральные показатели Ляпунова отличны от нуля, и, таким образом, система является (неравномерно) гиперболической.
2. О многоуровневых методах Монте-Карло для детерминированных и неопределенных гиперболических систем (arXiv)
Автор: Junpeng Hu, Shi Jin, Jinglai Li, Lei Zhang
Аннотация: В этой статье мы оцениваем производительность многоуровневого метода Монте-Карло (MLMC) для детерминированных и неопределенных гиперболических систем, где случайность вводится либо в параметры моделирования, либо в алгоритмы аппроксимации. MLMC — это хорошо известный метод уменьшения дисперсии, широко используемый для ускорения выборки методом Монте-Карло (MC). Однако в этой статье мы показываем, что для гиперболических систем вопрос о том, может ли MLMC добиться реального ускорения, оказывается деликатным. Вычислительные затраты MLMC и MC зависят от взаимодействия между точностью (смещением) и вычислительной стоимостью численного метода для одной выборки, а также от дисперсий выборочных поправок MLMC или решений MC. Мы характеризуем три режима производительности MLMC и MC, используя эти параметры, и показываем, что MLMC может не ускорять MC и даже может иметь более высокую стоимость, когда дисперсии решений MC и поправок MLMC одного порядка. Наши исследования проводятся на нескольких прототипах гиперболических систем: линейном скалярном уравнении, уравнениях Эйлера и мелкой воды и линейной релаксационной модели, приведенные выше утверждения доказаны в некоторых случаях аналитически и продемонстрированы численно для случаев стохастической гиперболической системы. уравнения, основанные на параметрах белого шума, и метод случайного выбора Глимма для детерминированных гиперболических уравнений.
3. О механизме разрушения гладких решений одномерных квазилинейных строго гиперболических систем с большими начальными данными (arXiv)
Автор: Цзюнь Ли, Ган Сюй, Хуичэн Инь
Аннотация: Для 1D квазилинейной строго гиперболической системы n×n первого порядка ∂tu+F(u)∂xu=0 с u(x,0)=εu0(x), где ε›0 малых, u0(x)≢0 и u0(x)∈C20(R), когда хотя бы одно собственное значение F(u) действительно нелинейно, хорошо известно, что на конечном времени разрушения Tε производные ∂t ,xu взрываются, пока решение u остается малым. Для одномерного скалярного уравнения или строго гиперболической системы 2 × 2 (соответствующей n = 1,2), если гладкое решение u разрушается за конечное время, то можно хорошо понять механизм разрушения (т. е. только разрушение ∂t ,сю бывает). В настоящей статье для строго гиперболической системы n×n(n≥3) с классом больших начальных данных мы рассматриваем механизм разрушения гладкого решения u на конечном времени разрушения и детальное поведение сингулярностей ∂t ,xu вблизи точки взрыва. Наши результаты основаны на эффективном разложении u по различным характерным направлениям, подходящем введении модулированных координат и глобальных взвешенных оценках энергии.
4.Проектирование насыщенного граничного управления для гиперболических систем с возмущениями внутри области (arXiv)
Автор:Суха Шрейм, Франческо Ферранте, Кристоф Приер
Аннотация:Проектирование граничного управления с обратной связью изучается для одномерных гиперболических систем с возмущением в области и граничным контроллером с обратной связью под действием насыщения исполнительного механизма. Нелинейная теория полугрупп используется для доказательства корректности мягких пар решений замкнутой системы. Получены достаточные условия в виде функциональных неравенств диссипации для установления глобальной устойчивости замкнутой системы и L2-устойчивости при наличии возмущений в области. Затем проблема проектирования управления преобразуется в задачу оптимизации с ограничениями линейного матричного неравенства. Показано, что численные результаты подтверждают эффективность предложенной схемы управления.
