У меня есть рациональная функция: f(x) = P(x)/Q(x). Например:
f(x) = (5x + 3)/(1-x^2)
Поскольку f(x) является производящей функцией, ее можно записать в виде:
f(x) = a0 + a1*x + a2*x² + ... + a_n*x^n + ... = P(x)/Q(x)
Как я могу использовать sympy, чтобы найти nth член производящей функции f(x) (то есть a_n)?
Если в Sympy такой реализации нет, мне также любопытно узнать, реализована ли она в других пакетах, таких как Maxima.
Я ценю любую помощь.
Чтобы получить общую формулу для a_n производящей функции рациональной формы, rational_algorithm можно использовать. Например:
from sympy import simplify
from sympy.abc import x, n
from sympy.series.formal import rational_algorithm
f = (5*x + 3)/(1-x**2)
func_n, independent_term, order = rational_algorithm(f, x, n, full=True)
print(f"The general formula for a_n is {func_n}")
for k in range(10):
print(f"a_{k} = {simplify(func_n.subs(n, k))}")
Выход:
The general formula for a_n is (-1)**(-n - 1) + 4
a_0 = 3
a_1 = 5
a_2 = 3
a_3 = 5
a_4 = 3
a_5 = 5
a_6 = 3
a_7 = 5
a_8 = 3
a_9 = 5
Вы можете взять k-ю производную и заменить 0 на x и разделить на factorial(k):
>>> f = (5*x + 3) / (1-x**2)
>>> f.diff(x, 20).subs(x, 0)/factorial(20)
3
Ссылка здесь говорит о рациональных производящих функциях. В поисках повторения вы можете довольно быстро увидеть шаблон, используя дифференцирование:
[f.diff(x,i).subs(x,0)/factorial(i) for i in range(6)]
[3, 5, 3, 5, 3, 5]
Адаптируя подход из этот пост, вы можно попробовать следующее:
from sympy import *
from sympy.abc import x
f = (5*x + 3) / (1-x**2)
print(f.series(n=20))
k = 50
coeff50 = Poly(series(f, x, n=k + 1).removeO(), x).coeff_monomial(x ** k)
print(f"The coeffcient of x^{k} of the generating function of {f} is {coeff50}")
# to get the first 100 coeffcients (reversing the list to get a[0] the
# coefficient of x**0 etc.):
a = Poly(series(f, x, n=100).removeO(), x).all_coeffs()[::-1]
Выход:
3 + 5*x + 3*x**2 + 5*x**3 + 3*x**4 + 5*x**5 + 3*x**6 + 5*x**7 + 3*x**8 + 5*x**9 + 3*x**10 + 5*x**11 + 3*x**12 + 5*x**13 + 3*x**14 + 5*x**15 + 3*x**16 + 5*x**17 + 3*x**18 + 5*x**19 + O(x**20)
The coeffcient of x^50 of the generating function of (5*x + 3)/(1 - x**2) is 3
Следуя этому примеру на Cut The Knot, этот подход можно использовать для узнайте, сколькими способами сумму n можно оплатить монетами в 1, 5, 10, 25 и 50 центов.
f = 1/((1 - x)*(1 - x**5)*(1 - x**10)*(1 - x**25)*(1 - x**50))
a = Poly(series(f, x, n=101).removeO(), x).all_coeffs()[::-1]
print(a[50]) # there are 50 ways to pay 50 cents
print(a[100]) # there are 292 ways to pay 100 cents
Максимум:
powerseries((5*x+3)/(1-x^2),x,0);
возвращается
Используйте part для извлечения генератора:
part(''%,1);
(4-(-1)^i1)x^i1
и coeff, чтобы получить коэффициент:
a(i1) := coeff(''%, x, i1);
[a(0), a(1), a(2)];
[3, 5, 3]
a_n? 20.12.2019 
