Арифметика действительных чисел на языке общего назначения?

Чтобы покрыть реальные числа каким-либо чутьем, вам понадобится символический пакет.

Boost, проект C++, содержит библиотеку Rational. , но это только часть истории.

У вас есть иррациональные числа во всевозможных формах (пи, основание натурального логарифма, квадратные и кубические корни, константа Чамперноуна, и это лишь некоторые из них). Единственный известный мне способ обработки арифметических операций - это символический пакет с умом относительно отношений между всеми этими числами. Предполагая, что вы можете выразить e^pi, как бы вы добавили к нему единицу? Или извлеките из него квадратный корень?

Mathematica может справиться с такими случаями.

Хотя мне неприятно это говорить, Фортран. Он имеет обширную поддержку арифметики произвольной точности и массу поддержки для вычислений с большими числами. Это древнее и грубое, но оно выполняет свою работу.

Все числа, используемые в ваших примерах, являются алгебраическими числами и могут быть представлены в конечном виде как корни многочленов. с целыми коэффициентами.

Этого нельзя сказать о действительных числах вообще, что легко увидеть, если учесть, что действительные числа несчетны, а множество компьютерных программ счетно. Поэтому большинство вещественных чисел не будут иметь конечного представления в коде.

То, что вы ищете, — это символьные вычисления (MATLAB и другие инструменты, используемые в математике и инженерии, хороши в этом).

Если вам нужен язык общего назначения, я думаю, что дерево выражений в C# будет хорошей отправной точкой. По сути, возможность сохранять выражение (вместо преобразования выражения в действительные значения) является ключом к возможности выполнения символьных вычислений. Обратите внимание, что дерево выражений не обеспечивает символьных вычислений, оно просто предоставляет структуру данных, поддерживающую символьные вычисления.

Этот вопрос интересен, но вызывает некоторые вопросы. Во-первых, вы никогда не сможете представить все действительные числа, используя компьютер (даже теоретически бесконечный) по причинам кардинальности.

То, что вы ищете, - это тип данных "символические числа". Вы можете представить своего рода дерево выражений с предопределенными константами, арифметическими операциями и, возможно, алгебраическими (корни многочленов) и трансцендентными (exp, sin, cos, log и т. д.) функциями.

Теперь самое интересное: вы не можете найти алгоритм, который определяет, представляют ли два таких дерева одно и то же число (или, что то же самое, который проверяет, является ли такое дерево нулевым). Я не буду утверждать ничего точного, но в качестве подсказки, это похоже на проблему остановки (для компьютерщиков) или теорему Гёделя о неполноте (для математиков).

Это делает такой класс довольно бесполезным.

Для некоторых подполей действительных чисел у вас есть канонические формы, такие как a/b для рациональных чисел или конечные алгебраические расширения рациональных чисел (a/b + ic/d для комплексных рациональных чисел, a/b + sqrt(2) * a/b для Q[sqrt(2)] и т. д.). Их можно использовать для представления некоторых наборов алгебраических чисел.

На практике это самое сложное, что вам понадобится. Если у вас есть особая необходимость, например диапазоны чисел с плавающей запятой (чтобы доказать, что какой-то результат находится в пределах указанного интервала, это, вероятно, самое близкое, что вы можете получить действительные числа) или числа произвольной точности, у вас повсюду есть свободно доступные классы. Google boost::range для первого и gmp для второго.

Существует несколько языков с поддержкой рациональных и комплексных чисел. Схема, для например, имеет встроенную поддержку произвольных точных рациональных чисел и комплексных чисел либо с рациональными, с плавающей запятой, либо с целыми коэффициентами:

> (+ 1/2 1/3)
5/6
> (* 3 1+1/2i)
3+3/2i
> (+ 1/2 .5)
1.0

Если вы хотите выйти за рамки рациональных чисел или комплексных чисел с рациональными коэффициентами, используйте алгебраические числа, такие как sqrt(2) или числа в закрытой форме, такие как e, вам, вероятно, придется выйти за рамки языков программирования общего назначения и использовать специальные математические языки, такие как Mathematica или Maxima.

Ява: java.math.BigDecimal

C#: decimal

Многие языки поддерживают это: Java имеет BigDecimal, Perl имеет Math::BigFloat и Math::BigRat, Haskell имеет Integer, и многие библиотеки и языки перечислены в википедия.

Ада изначально поддерживает вычисления с фиксированной точкой, а также с плавающей запятой. Фиксированная запятая может быть намного точнее, чем с плавающей запятой, пока показатели степени числа остаются в диапазоне.

Если вам нужны числа с плавающей запятой, но с большей точностью, чем дает IEEE, есть пакеты bignum практически для каждого языка.

Я думаю, это лучшее, что вы можете сделать. Ни одна из схем не может точно представить повторяющиеся десятичные дроби (например, 1/3). Вероятно, можно было бы придумать схему, которая это делает, но я не знаю ни одного языка, поддерживающего такую ​​штуку со встроенным типом. Даже это не поможет вам с иррациональными числами (например, пи и е). Я полагаю, что есть даже теорема, которая говорит, что всегда будут непредставимые числа, какую бы схему вы ни придумали.

РЕДАКТИРОВАТЬ: десятичные типы данных произвольной точности - это не то, что я ищу. Я также хочу иметь возможность представлять такие числа, как 1/3, sqrt(3) или 1 + 2i.

Ruby имеет класс Rational, поэтому 1/3 можно выразить точно как Rational(1,3). Он также имеет сложный класс.

Схема определяет рациональные числа, большие числа, числа с плавающей запятой и комплексные числа. Реализация не требуется для поддержки их всех, но если они присутствуют, вы можете смешать их, и они будут «правильными».

Хотя это не «встроено», я думаю, что C++ (возможно, C#) — ваш лучший выбор. Есть классы, которые были написаны для этой цели.

http://www.oonumerics.org/oon/