Следующий шаг в вычислении определителя матрицы

Вам просто нужно удалить первую (нулевую) строку и столбец, который вам не нужен. Вам может быть полезно следующее:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace ConsoleApplication1
{
    class Program
    {
        /// <summary>
        /// Helper to show array.
        /// </summary>
        /// <param name="mat"></param>
        static void ShowArray(double[,] mat)
        {
            int ubound = mat.GetUpperBound(0);

            for (int row = 0; row <= ubound; row++)
            {
                for (int col = 0; col <= ubound; col++)
                {
                    Console.Write(string.Format("{0,2} ", mat[col, row]));
                }
                Console.WriteLine();
            };

            Console.WriteLine();

        }

        /// <summary>
        /// Get an array without the zeroth row and without a specified column.
        /// </summary>
        /// <param name="mat">The square array to remove items from.</param>
        /// <param name="knockoutCol">The column to eliminate.</param>
        /// <returns>A square array of size one less than the input array.</returns>
        static double[,] SubMatrix(double[,] mat, int knockoutCol)
        {
            if (mat.GetUpperBound(0) != mat.GetUpperBound(1))
            {
                throw new ArgumentException("Array is not square.");
            }

            int ubound = mat.GetUpperBound(0);
            double[,] m = new double[ubound, ubound];

            int mCol = 0;
            int mRow = 0;

            for (int row = 1; row <= ubound; row++)
            {
                mCol = 0;
                for (int col = 0; col <= ubound; col++)
                {
                    if (col == knockoutCol)
                    {
                        continue;
                    }
                    else
                    {
                        m[mCol, mRow] = mat[col, row];
                        mCol += 1;
                    }
                }
                mRow += 1;

            };

            return m;
        }

        static void Main(string[] args)
        {
            int arraySize = 4;
            double[,] mat = new double[arraySize, arraySize];
            int ubound = mat.GetUpperBound(0);

            // Initialise array for inspection.
            for (int row = 0; row <= ubound; row++)
            {
                for (int col = 0; col <= ubound; col++)
                {
                    mat[col, row] = (arraySize * row) + col;
                }
            };

            ShowArray(mat);

            ShowArray(SubMatrix(mat, 0));
            ShowArray(SubMatrix(mat, 1));
            ShowArray(SubMatrix(mat, 2));

            Console.ReadLine();

        }
    }
}

Выходы:

 0  1  2  3
 4  5  6  7
 8  9 10 11
12 13 14 15

 5  6  7
 9 10 11
13 14 15

 4  6  7
 8 10 11
12 14 15

 4  5  7
 8  9 11
12 13 15

Если бы я думал об этом более тщательно, когда начинал, я мог бы поменять местами строки и столбцы.